고독한 접룡 (이하 "거미 접룡") 은 매우 유행하는 게임으로, 사람들이 컴퓨터에서 온라인이나 오프라인에서 자주 논다. 이름에서 알 수 있듯이 이 게임에는 플레이어가 한 명밖에 없다. 게임에는 두 세트의 표준 포커가 있는데, 플레이어는 카드를 8 개의 전체 그룹 (2 세트, 각각 4 가지 색상) 으로 배열하여 데스크탑에서 더 이상 제거할 수 있도록 해야 합니다. 특정 규칙에 따라 카드 데크에서 카드를 추출하거나 한 열에서 다른 열로 카드를 이동할 수 있습니다. 여기서는 게임 규칙에 대해 자세히 논의하지 않습니다. 독자가 이미 게임 규칙을 알고 있다고 가정합니다. 추억이 필요하면 여기를 볼 수 있어요. 여기서 우리는이 게임의 네 가지 버전 만 논의합니다.
거미패에는 두 세트의 표준 포커가 포함되어 있다.
플레이어는 서로 다른 소프트웨어에 편견이 있다고 불평해 왔다. 특히, 만약 프로그램이 플레이어의 승률이 높다는 것을 감지한다면, 그것은 암암리에 뒷패의 순서를 조작하여 승률을 낮출 수 있다. 선수 자체도 자신의 최고 수준을 발휘하는 경향이 있을 수 있다. 그러나, 몇 가지 기본적인 통계 수단을 통해, 우리는 이런' 편파적인 비난' 을 증명하거나 반박할 수 있다. 이것은 또한 좋은 연습으로, 한 사람이 어떻게 현실 세계에서 관찰된 데이터를 이용하여 통계적 수단으로 가설 (예:' 거미카드 프로그램에 편차가 있다') 의 진위를 판단하는 것을 볼 수 있다.
기초지식
이 문서의 관점에서 볼 때, 플레이어가 거미 카드를 재생할 때 "취소", "다시 실행" 및 "추가 단계" (게임을 거친 초기 버전으로 단순화) 를 사용하지 않는다고 가정하므로 플레이어는 점수, 소요 시간 및 이동 단계 수를 고려하지 않아도 됩니다. 많은 사람들이 게임이 이런 조건 하에서 이길 수 없다고 생각하지만, 캘리포니아 주립대 롱비치 분교의 스티브 브라운은 그의 우수한 저서' 거미표 승리 전략' 에서 306 경기에서 승률이 48.7% 에 달할 수 있다는 상세한 전략을 제시했다. 동시에 그는 자신의 놀이가 완벽하지 못하다고 지적했다. 그 프로 선수들은 더 잘할 수 있고, 심지어 60% 이상의 승률에 이를 수도 있다. 나는 브라운의 이러한 전략을 이용하여 실험을 했는데, 결과는 내가 확실히 48.7% 이상의 승률을 달성할 수 있다는 것을 보여준다.
이상적으로 컴퓨터 기반 스파이더 카드 게임은 실제 카드 게임을 시뮬레이션하고 충분한 셔플을 만들 수 있습니다. 만약 게임의 어느 노드에서나 N 장의 카드가 보이지 않는다면, 각 카드마다 1/N 의 가능성이 다음 뒤집기 (서술의 편의를 위해, 우리는 같은 색깔의 같은 크기의 카드 사이의 동등성을 무시한다). 예를 들어 시작 위치에서는 10 카드가 강조 표시된 것을 알고 있습니다. 총 * * 104 장의 a * * * 중 8 장의 K 가 있기 때문에, 1 장 은표가 K 일 확률은 8/104 =1//KLOC/입니다. 상당한 수의 게임을 한 후에 강조 K 의 수가 평균 1 1/ 13 에 가깝다는 것을 알게 된다면, 우리는 이 거미 프로그램이 편향되었다고 믿을 만한 이유가 있다.
테스트 데이터
매 경기마다, 우리는 모두 이 카드의 운을 반영할 수 있는 데이터 세트를 기록하고 싶다. 숫자가 높을수록 당첨 확률이 높아진다. 우리가 생각하는 한 가지 해결책은 절대적으로 공정하고 공정한 게임에서 이러한 테스트 데이터의 가치를 평가한 다음 편견이 있을 수 있다고 의심하는 게임에 기록된 데이터 값과 비교하는 것입니다.
처음 10 장의 카드가 확정되면' 보장라운드 수 (GT)' 를 계산할 수 있습니다. 즉, 플레이어가 강제로 다른 행으로 전환하기 전에 전시할 수 있는 최소 카드 수를 결정할 수 있습니다. 새로운 10 장의 카드가 결정될 때마다 우리는 비슷한 계산을 할 수 있고, 이것이 새로운 게임의 시작이라고 가장할 수 있다. 이런 식으로 우리는 GT 의 평균 (AGT) 을 계산할 수 있습니다. 만약 몇 라운드 후에 GT 값이 작다면 플레이어는 번거로울 것이다. AGT 는 플레이어 자체와 무관하기 때문에 여러 실험 (즉, 여러 줄 결정) 을 통해 AGT 의 확률 분포를 쉽게 시뮬레이션할 수 있다는 점에 유의해야 한다.
경험상 카드의 전체 분배가 좋지 않으면 플레이어도 곤경에 처할 수 있다. 예를 들어 7 개의 Q 가 있지만 2 개의 J 만 입력되지 않은 경우 하나 이상의 열을 지운 경우에도 문제가 발생할 수 있습니다. 따라서 여기에 총 제곱 변화량 (TSV) 이 정의되어 있는데, 그 값은 인접한 크기의 카드 수에 대한 음의 제곱의 합입니다. 앞의 예에서 7 개의 Q 와 2 개의 J 가 합칠 때 기여합니다 -(7-2) 2 =-25. 여기서 음수 값은 AGT 처럼 TSV 의 증감과 우승 확률의 증감이 일치하는지 확인하는 것입니다. 새 카드가 나올 때마다 TSV 를 계산하여 단일 필드의 평균 TSV(ATSV) 를 계산할 수 있습니다. ATSV 도 플레이어와 독립적이라는 점에 유의해야 합니다. 게임을 하는 플레이어가 억류된 모든 카드를 임의의 순서로 표시한다고 가정해 봅시다. (플레이어가 먼저 표시할 카드를 선택할 수는 있지만 각 카드를 표시할 확률은 같습니다.) 다행히도 시뮬레이션을 통해 쉽게 수행할 수 있습니다.
거미 카드의 전형적인 산포 그래프 (○ 승리, × = 패배)
위에 전형적인 산포 그래프가 표시되어 있는데, 파란색 원과 빨간색 십자는 승리와 실패를 차례로 나타낸다.
시뮬레이션 결과에 따르면 대량의 게임 후 편향되지 않은 게임 프로그램의 경우 AGT 는 3.96, ATSV 는 -32.29 와 같아야 합니다. 다음 예제의 시작 위치에서 GT= 1, TSV=-42 는 게임이 아직 끝나지 않았기 때문에 AGT 와 ATTV 의 값이 얼마인지 알 수 없습니다.
예를 들어 시작 위치 GT= 1, TSV=-42 를 들 수 있습니다.
계산은 다음과 같습니다.
가설 검정
스파이더 카드 게임에 편차가 있는지 확인하기 위해 가설 검사라는 수단을 사용했습니다. 먼저 제로가설 (우리가 의심하는 효과가 존재하지 않을 수 있다는 의미) 을 하나 만들어 보자. 여기서' 거미접룡 프로그램에는 편차가 없다' 는 뜻으로' 거미접룡 프로그램이 일부러 걸림돌을 떨어뜨려 플레이어의 승률을 낮추게 한다' 고 덧붙였다.
먼저 거미줄 카드 게임에서 감지할 게임 수로 큰 수 N 을 선택한 다음 게임당 한 번씩 AGT 와 ATSV 를 계산합니다. 다음 일반적인 아이디어는 우리가 비교하고자 하는 관측 결과의 확률 (즉, P 값) 을 찾거나, 더 극단적으로, 0 가설이 진짜일 확률 (즉, 프로그램이 편향되지 않음) 을 찾는 것이다. 확률이 특정 임계값 (즉, 중요도 수준) 보다 낮을 경우, 편향되지 않은 프로그램이 N 개 게임에서 관찰한 AGT 와 ATSV 값을 산출할 가능성이 거의 없다면, 우리는 0 가설을 거부하고 게임에 편향된 결론을 도출할 것이다. (존 F. 케네디, Northern Exposure (미국 TV 드라마), 도전명언)
그렇다면 P 값을 얻을 확률을 어떻게 계산할 수 있을까요? 즉, 우리가 관찰한 AGT 와 ATSV 값 (게임에 편차가 없다는 것을 증명함) 을 어떻게 계산할 수 있을까요? 시뮬레이션에서 우리는 각각 3.96 과 -32.9 로 편향되지 않은 게임에서 AGT 와 ATSV 에 대한 기대치를 얻었다. 더 흥미롭게도, 확률론은 AGT 와 ATSV 의 값이 편향되지 않은 게임에서 어떻게 분산되는지 알려 줍니다. 즉, AGT 와 ATSV 값이 관찰될 확률을 계산하는 데 도움이 됩니다. 이른바' 학생 T 검사' 는 이 값들을 모두 고려하여 우리가 원하는 P 값을 얻을 수 있다. 여기서 세부 사항을 생략하고 관심 있는 것은 확률통계의 관련 내용을 참고할 수 있다.
이 글의 관점에서 볼 때, 우리는 N= 100 을 이 테스트 대상 게임 프로그램에서 하는 게임 수로 선택하고 중요도 수준 값은 0.05 입니다.
승률 추정
AGT 와 ATSV 외에도' 편향되지 않은' 스파이더카드 프로그램의' 실제' 승리 확률도 평가하고 싶다. 분명한 난점은 승률이 플레이어와 관련이 있다는 점이다. 따라서' 한 플레이어가 50% 의 경기를 이길 수 있다' 는 주장을 검증하기 어렵다. 또 다른 경우, 나는 서로 다른 거미카드 게임 프로그램에서 45 ~ 60% 의 승률을 얻었고, 내 승률이 이 프로그램을 사용하는 과정에서 향상되었다는 증거는 없다. (즉, 내 승률은 시간과 양의 상관 관계가 없다.)
재미있는 무료 온라인 카드 게임 사이트, Pipkin 의 바보 같은 기쁨 카드 서버, 많은 카드 게임이 포함되어 있습니다. 플레이어가 1 에서 999999 까지의 시드 번호를 지정할 수 있습니다. 예를 들어 시드 수는 142857 이고, 앞 10 카드는 항상 2J56J9JQ59 이지만 조합이 다릅니다. 만약 플레이어가 게임 전에 무작위로 씨앗 한 송이를 생성한다면 프로그램은 플레이어의 승률에 따라 난이도를 조정할 수 없다는 점에 유의해야 한다. 바로 이런 이유로, 너는 이 사이트를 선택하여 승률을 추정할 수 있다.
0 가설이 참일 때 이 가설을 거부하는 것을 첫 번째 종류의 오류라고 하며, 그 확률은 중요도 수준과 같다. 가설 검사에서 또 다른 오류를 두 번째 유형의 오류라고 하는데, 이는 0 가정이 거짓이면 0 가설을 받아들이는 것을 의미합니다.
나는' 바보의 기쁨' 에서 100 개의 게임을 했고, 사용된 씨앗의 수는 1 부터 100 까지였다. 결국 나는 59 경기를 이기고 4 1 장을 졌다. 그래서 나는' 편향되지 않은' 거미 게임을 하는 승률이 59% 정도 될 것으로 예상한다.
측정치
나는 무료 거미 카드에서 100 회 거미 카드 게임을 했다. 여기서 게임을 하기로 선택했지만 실험을 통해 이곳의 게임 체험은 정말' 나쁘다' 고 말했다. 내가 이길 수는 있지만 전문가 게이머라도 놀기가 힘들었다. (데이비드 아셀, Northern Exposure (미국 TV 드라마), 스포츠명언) 각 경기는 경기의 승부 결과와 AGT 와 ATSV 의 데이터를 기록했다. AGT 와 ATSV 의 p 값이 각각 0. 1 15 와 0.20 1 인 것을 관찰했습니다. 즉, AGT 와 ATSV 의 데이터는 예상보다 낮지만 (즉, 플레이어가 손해를 볼 수 있음) 두 값 모두 우리의 임계값 0.05 보다 높기 때문에 통계적으로는 중요하지 않습니다. 우연한 변화로 인해 더 낮은 값이 나타날 수 있습니다.
아쉽게도 나는 46 개만 이겼고 예상보다 13 이 적었다. 이는 추가 테스트 및 검증이 필요할 수 있음을 나타냅니다. 하지만 각 플레이어의 승률이 다르다는 것을 알고, 이 100 이닝 나는 아직 최선을 다하지 못했을 것이다.
내가 내린 결론은 무료 거미 접룡의 절차가 편향되었다는 증거가 충분하지 않다는 것이다. (존 F. 케네디, Northern Exposure (미국 TV 드라마), 자유명언) 46 경기의 승수는 다소 실망스러웠지만, 이 프로그램은 확실히 시련을 겪었다. 하지만 다른 스파이더 카드 프로그램은 그렇게 운이 좋지 않을 수도 있습니다.
작가: 도철연
번역: 데니스
수정기호: Nuor
원본 링크:
Https://plus.maths.org/content/spider-solitaire
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이 책을 읽고 나면, 당신은 사고의 경이로움과 지식의 광박함에 경탄할 것이며, 인간의 창의력의 엄밀한 논리와 음악 리듬에 경탄할 것이다. (조지 버나드 쇼, 독서명언)
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