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원형 내접 삼각형의 특성과 그 응용
다섯 방향 왕영매
특성: 삼각형의 두 변의 곱은 세 번째 변의 높이와 외접원 지름의 곱과 같습니다.
알려진 원 o 는 △ABC 의 외접원, AD 는 BC 변의 높이, AE 는 원 o 의 지름입니다 .....
증명: ab AC = ad AE 입니다.
증명: 그림 1 과 같이 BE 를 연결하면 있습니다.
그림 1
광고는 BC 변의 높이입니다.
그래서
그래서
즉,
그래서 ab AC = ad AE 입니다.
이 성질은 널리 응용되고, 이 성질을 교묘하게 응용하여 문제를 풀면 문제 해결 과정을 단순화할 수 있다. 다음은 몇 가지 예입니다.
1. 증명 등적공식
예제 1. 그림 2 와 같이 AB 는 원 O 의 현이고 C 와 D 는 AB 의 동면에 있는 것으로 알려져 있습니다. AD BD CE = AC BC DF 를 증명합니다.
그림 2
증명: 원 o 의 직경을 d 로 설정하면
AD BD=DF d
Ac BC = ce D.
두 공식을 곱하다
AD BD CE d=AC BC DF d
즉,
2. 증명 비율 공식
예 2. 우리 모두 알고 있듯이, 원 O 의 내부 사변형 ABCD 의 대각선 BD 는 AC 를 E 로 이등분합니다 .. 검증 。
증명: 그림 3 과 같이 점 a 와 점 c 를 각각 연구합니다.
그림 3
원 o 의 지름을 d 로 설정하면
3. 증명 설정
예 3. 두 원은 a, b 두 점에서 교차하고 교차 b 를 통과하는 선은 각각 c, d 점에서 두 원과 교차합니다. 인증: AD 에 대한 AC 의 비율은 고정되어 있습니다.
증명: 그림 4 와 같이 AB 를 연결하고 A 를 전달합니다.
그림 4
원 O 1 과 원 O2 의 지름을 각각 설정하고 두 공식을 나누면 (고정 값) 됩니다.
4. 함수 공식 찾기
예 4. 그림 5 와 같이 알려진 원 O 의 내부 △ABC 에서 AB+AC= 12, AD=3 ... 원 O 의 반지름을 Y, AB 의 길이를 X 로 설정하고 Y 와 X 의 함수 관계를 구하여 인수 X 의 값 범위를 나타냅니다.
그림 5
솔루션: AO 를 연결하고 교차점 o 를 e 로 확장한 다음
왜냐하면 △ABD 와 △ACD 는 직각 삼각형이고
AD=3 이므로
즉, 인수 x 의 범위는 입니다.
연습:
AC 와 BD 는 원 O 의 내접 사변형의 두 대각선입니다.
검증: 고정 값입니다.
원의 동적 변화를 예시하다
유서화와 육화빈
새로운 과정의 시행과 자질교육이 깊어짐에 따라 기하학과 관련된 동적 변화가 각 성시의 입시 시험 문제에 빈번히 나타나 최근 2 년 동안 수학에서 가장 중요한 포인트 중 하나가 되었다. 이런 문제를 해결하려면 자세히 읽고, 관찰하고, 비교하고, 추리하고, 귀납해야 한다. 다음은 원의 동적 변화를 보여 주는 예입니다.
첫째, 위치 관계가 바뀌었다
1. 두 원 사이의 위치 관계가 변경되었습니다.
예제 1. 그림 1, ⊙및 ⊙ 는 점 P 에 접하고, A 는 윗점이고, 선 AC 는 점 C 에 접하고, 점 B 와 교차하고, 선 AP 는 점 D 와 교차합니다. .....
(1) 검증: PC 주식 BPD；; 동등하다
(2) "⊙, ⊙점 p 에 접함" 을 그림 2 와 같이 "⊙, ⊙점 p 에 접함" 으로 변경합니다. 다른 조건은 변하지 않고, (1) 의 결론은 여전히 성립되는가? 그리고 당신의 결론을 증명하십시오.
해결: 두 원의 접선은 두 원의 공통 접선을 연상한 다음 접선 각도 정리, 접선 특성 정리, 삼각형 내부 각도 및 정리의 파생을 통해 이 문제의 결론을 증명할 수 있습니다. 두 번째 질문 (1) 의 결론은 여전히 성립되어 증명 과정은 모든 사람에게 생각을 남겨준다.
원의 중간점 위치가 변경됩니다.
예 2. 그림 3 에서 AB 는 반원 O 의 지름이고, 점 M 은 반지름 OA 의 중간점이고, 점 P 는 세그먼트 AM 위로 이동하고 (점 M 과 일치하지 않음), 점 Q 는 반원 O 위로 이동하며, 항상 PQ=PO, 교차 Q 의 접선 ⊙O, 교차 BA 의 연장선은 점 C 에 있습니다.
(1) 당시 의 모양을 추측하고 증명해 주세요.
② 당시 모양은 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 삼각형이었다.
(3) (1)(2) 의 결론에서 p 점이 선 세그먼트 AM 의 어느 곳으로든 이동할 때마다 반드시 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 삼각형이라고 더 추측해 보십시오.
해결: 설정 조건에서 중심과 접점을 연결하고 직각 삼각형을 구성한 다음 삼각형 내부 각도와 정리의 파생과 접선의 특성을 사용하여 쉽게 해결할 수 있습니다.
둘째, 원의 스크롤
원의 롤링 문제는 크게 세 가지 범주로 나눌 수 있습니다. 하나는 원이 직선에서 구르는 것이고, 다른 하나는 폴리라인에서 구르는 것이고, 세 번째는 원이 곡선에서 구르는 것입니다 (일반적으로 원 또는 호를 가리킴). 서로 다른 선을 한 바퀴 굴리면 상황이 달라질 수 있다. 직선에서 원을 굴리는 것을 예로 들어 봅시다.
예 3. 그림 4 와 같이 지름이 D 인 동전이 직선 L 을 따라 한 번 굴러가는데 동전 중심이 지나가는 거리는 얼마입니까?
해결: 원은 a 점에서 시작하여 선 l 을 따라 시계 방향으로 b 점으로 스크롤됩니다. 선 세그먼트 AB 의 길이는 원의 둘레와 상당히 같습니다. 즉, 선 l 이 원에 접하기 때문에 중심이 통과하는 거리입니다.
생각해 보세요. 만약 동전이 A 지점에서 직선 L 을 따라 시계 방향으로 N 바퀴를 굴린다면, 동전 중심이 지나가는 거리는 얼마입니까?
셋째, 원의 확대
예 4. 그림 5 와 같이 등변 삼각형 ABC 의 모서리 길이는 6 입니다. C 점을 중심으로 한 c 의 반지름 r 이 변경되면 c 의 합계 범위와 각 면의 총 * * * 점 수가 어떻게 됩니까? 다양한 경우 n 값과 해당 r 값의 범위를 작성합니다.
해결: 등변 삼각형 ABC 의 높은 CD 를 얻을 수 있으므로 R 의 토론 범위는 (2) r=6 또는
N=4.
동심원의 특성과 그 응용
자 (배우)
자연:
1. 동심원에서 작은 원에 접하는 큰 원의 현이 접점에 의해 이등분됩니다.
2. 동심원에서 작은 원에 접하는 큰 원의 현이 모두 같다.
이 두 가지 결론을 통해 동심원의 특수 현과 관련된 문제를 계산하고 증명할 수 있습니다. 스스로 결론의 구체적인 증명 과정을 완성하십시오.
예제 1. 그림 1 과 같이 두 동심원의 중심은 O 이고, 큰 원의 현 AB 와 AC 는 각각 D 와 E 에서 작은 원에 접하며, 선 MN 과 큰 원은 A 점에 접해 있습니다 .....
그림 1
확인: (1);
(2) 기원전 300 년.
증명: (1)∵ 큰 원과 작은 원의 현 AB, AC 는 각각 D, E 에 접해 있습니다. 결론 1 에서:
AD=DB, AE=EC.
∯ de 는 △ABC 의 정중선이며,
∯.
(2) 결론 2 에서 우리는 AB=AC 를 얻을 수 있습니다.
∮ b = ∮ c
∵MN 과 큰 원은 a 에 접해 있습니다.
∮ mab = ∮ C.
∮ b = ∮ mab
∞ Mn ∞ BC.
예 2. 그림 2 에서 볼 수 있듯이 O 를 중심으로 한 두 동심원 중 A 와 B 는 큰 원의 두 점이고 A 와 B 를 통과하는 시컨트 ACD 와 BEF 는 작은 원입니다.
그림 2
인증: AC ad = be BF
A 와 B 가 각각 큰 원과 작은 원에 접하는 현 AG 와 BH, 그리고 M 과 N 임을 증명했다.
결론 1, 2 에서 AM=BN 을 쉽게 알 수 있습니다. ①
절단선 정리에 근거하여 얻어내다
②
① 와 ② 로 증명할 수 있다: AC ad = be BF.
원 및 정다각형의 점 테셀레이션
이효걸
원과 정다각형 단위의 학습 요구사항은 원과 정다각형의 관계 이해, 정다각형의 관련 개념 이해, 학습한 지식을 이용하여 정다각형의 변 길이, 반지름, 원점, 중심각, 둘레, 면적을 계산하는 것이다. 고등학교 입시에서 정다각형을 단독으로 고찰하는 것은 주로 계산, 그리기, 테셀레이션, 겹침, 모양 채우기 등이다. 원과 정다각형에 관한 문제를 해결할 때 관련 삼각형, 특히 직각 삼각형 문제로의 변환에 각별한 주의를 기울여야 한다. 정다각형의 반지름, 정점 및 모서리 길이로 구성된 직각 삼각형은 정다각형 계산 문제를 해결하는 기본 모양이며 정다각형의 요소 간 관계를 집중적으로 반영합니다. 현 중심 거리는 정다각형과 원 사이의 다리입니다.
예제 1. 높이가 3 인 정삼각형의 내접원 반지름, 외접원 반지름, 모서리 길이, 면적은 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 입니다
솔루션: 그림 1, o 는 정삼각형 ABC 의 중심입니다. △ABC 의 외접원 반지름이 r 이고 내접원 반지름이 r 이면 R = AO = 2OD = 2r 입니다. AD=3, AO=2 부터 R=2, r= 1 입니다. Rt△ODB 에서 OB=R=2, 쉽게 얻을 수 있는 BC 는 △EFG ∯ △ABC, OB 와 OD 는 각각 △ EFG 와 △ ABC 의 극이기 때문이다.
그림 1
리뷰: 정다각형의 대칭에서 O 점이 정삼각형 ABC 의 외접원과 내접원의 중심이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 변의 수가 같은 정다각형은 비슷하기 때문에 해당 세그먼트나 면적을 계산할 때 유사 비율로 정다각형을 연결하는 경우가 많습니다.
예 2. 정육각형 중 두 평행 반대편의 거리는 D 로 알려져 정육각형의 면적을 구합니다.
해결책: 그림 2 와 같이 apothem 은 쉽게 구할 수 있습니다.
그림 2
∵∠AOB = 60°, OA=OB, ∯ OAB 는 정삼각형입니다.
∯.
∯.
≈
코멘트: 정다각형 제목에서 정다각형의 대칭으로 알 수 있듯이 정다각형의 중심은 정다각형의 모든 가장자리와 이등변 삼각형을 형성할 수 있는 특별한 가치 있는 점입니다. 이 이등변 삼각형의 밑변 (정다각형의 가장자리) 과 이 이등변 삼각형의 세 내각 (정다각형의 내각으로 계산됨) 을 구할 수 있습니다.
예 3. 그림 3 에서 볼 수 있듯이 사변형 ABCD 는 지름이 AB 이고 O 의 반원으로 둘러싸인 그림자 부분 면적이 S 1 인 ⊙O 의 내부 정사각형입니다. 정사각형 ABCD 의 면적이 s 인 경우 S 1 과 s 의 관계를 결정하고 이유를 설명하십시오.
그림 3
해결책: O 의 반지름을 R, 현 AB 및 S2 로 둘러싸인 아치형 면적으로 설정하면 AOB = 90 을 쉽게 알 수 있습니다. 。
∵
∯.
≈
또 왔어요.
지나가다
코멘트: 양량 관계의 문제에 대해 우리는 때때로 그래픽을 관찰하여 추측하고 증명할 수 있다. 이 예는 계산된 결과를 통해 수량 관계를 결정해야 한다. 이 문제를 해결하기 위해 지역 절단 및 보상 방법을 사용하십시오.
예 4. 그림 4 와 같이 모서리 길이가 2 인 사각형 중 5 개의 정팔각형이 그림 4 와 같이 정렬되어 정팔각형의 모서리 길이를 구하는 것으로 알려져 있습니다.
솔루션: 그림 4 와 같이 정팔각형의 모서리 길이를 x 로 설정합니다.
그림 4
왜냐하면 △ADE 는 이등변 직각 삼각형이고 DE=x, x,
그래서.
그리고 ef = GH = lm = X 입니다.
≈
해결 방법은 정팔각형의 변길이는 입니다.
코멘트: 원과 정다각형 문제에서 핵심은 복잡한 모양을 단순한 모양으로, 다각형을 삼각형으로 바꾸는 것과 같은 변환 사상의 응용이다.
외접원의 성질과 응용.
손건홍
두 원 사이에는 외접, 외접, 교차, 내접 및 포함의 다섯 가지 위치 관계가 있습니다. 접하는 원 두 개가 접점을 제외한 각 원의 점이 다른 원 밖에 있을 때 이 두 원을 외접원이라고 합니다. 또한 외접 관계는 두 원의 위치 관계 중 하나의 중요한 관계이며 많은 특성을 가지고 있습니다.
특성 (1) 두 외접원의 교차선은 반드시 그들의 접점을 통과해야 하며, 두 원의 중심 거리는 d (중심 거리) 이다.
두 원의 반지름 합인 D = R+R 과 같습니다.
두 원이 외접할 때 두 원의 접점을 통과하는 원의 접선도 반드시 다른 원의 접선이어야 합니다.
이 세 선의 두 중심과 접선 점.
예 1 두 원의 반지름이 각각 r, r (r > r) 이고 중심 사이의 거리가 d 인 경우 두 원의 위치 관계는 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 입니다.
해결책: 왜냐하면
그래서
그래서
그래서 d=R+r(R+r=-d 는 무관함) 입니다.
따라서 두 원 사이의 위치 관계는 외접입니다.
둘째, 외접된 두 원에는 세 개의 공접선이 있는데, 그 중 두 개는 외접선이고, 한 개는 내접선이고, 내접선은 두 원의 접점을 통과하고, 그 교차점에 수직이다.
그림 1, R and R 의 반지름 ⊗ 외접 및 외접 AB 가 각각 A 와 B 에 있는 경우 AB 는 외공 접선 길이입니다. 짝수, 접선 특성으로 알 수 있습니다.
사변형 ABCD 가 직사각형임을 증명할 수 있고
그래서,
Rt δ에서,
속성 (2) 의 외부 공용 접선 길이는 다음과 같습니다
두 원이 외접할 때 자주 추가되는 치수 보조선은 내공접선이다. 내공접선은 두 원의 등현절각을 생성할 수 있고 두 원의 요소를 연결할 수 있기 때문이다.
성질 (3) 가내공접선은 외접원 문제를 해결하는 황금 열쇠이다.
그림 2 와 같이 예 2 댜는 점 C 에 접하고, PA 는 점 A 에 접하고, 점 P 와 D 와 교차하며, PC 는 점 B 와 직접 교차하는 것으로 알려져 있습니다. .....
증명서: AC 주 ∠BCD.
해결책: 하자 ⊙ 댜댜댜댜댜댜댜댜댜댜댜댜댜댜댜댜댜댜댜댜댜댜댜댜댜댜댜
PA 는 a 지점에서 ≥ 를 자릅니다.
그래서, ∠MAC=∠ACM,
따라서, ACB = p+"MAC =" MCD+"MCA =" DCA.
바로 AC 주식 ∠BCD 입니다.
4. 다음 예를 보십시오. 그림 3, ⊙ 점 P 에 접해 있고, AB 는 두 원의 접선이며, 접선점은 A 와 B 이며 직각 삼각형으로 증명됩니다.
솔루션: p 가 e 에서 내부 공용 접선 AB 와 교차하는 경우 접선 길이 정리에서 EB = EP, EP = EA, 즉 EB=EP=EA 를 알 수 있습니다. 정리에 따르면 (삼각형에서 한쪽 중심선이 모서리의 절반과 같으면 직각 삼각형이 됩니다.)
이 문제에서 AB 는 접선과 두 원의 접점이고 P 는 두 원의 접점이다.
우리는 이것을 탄젠트 삼각형이라고 부르는 데 익숙하다.
2 원 외접 관계의 형상 증명에서 탄젠트 삼각형 분석을 통해 문제를 해결하는 것은 더 적은 노력으로 할 수 있으며, 이는 2 원 외접 관계에서 특히 중요합니다.
특성 (4) 접선 삼각형은 직각 삼각형입니다.
예 4 (중경고사) 는 그림 4 와 같이 P 점에 접해 있고, 내공접선 PC 와 외접선인 AB(A 와 B 는 각각 ⊔⊗ 의 접점점) 는 C 점에서 교차하며, 알려진 반경은 각각 3 과 4 이면 PC 의 길이는 _ \
분석: AB 는 외접이기 때문에 성격 (2) 에서 알 수 있습니다.
특성 (4) 에서 직각은 삼각형에서 CP=CB=AC 이므로 CP 는 대각선 AB 의 중심선이므로
예 5. 그림 5 와 같이, ⊒ ⊒ ⊒ ⊒ ⊒ ⊒ ⊒ ⊒ ⊒ ⊒ ⊒ ⊒ ⊒ ⊒ ⊒ ⊒ ⊒ ⊒ ⊒ ⊒ ⊒ ⊒
C 에서, d, d, CA, DB 의 연장선이 q 에서 교차하여 증명됩니다.
간단한 분석: AP 와 BP 도 위의 제목에서 우리는' APB = RT ∞,' CAP =' PBD = RT ∞, 그래서 사변형 내각과 정리에서 우리는' Q = RT ∞' 를 알고 있다.
두 라운드 외접관계의 이러한 성질은 문제를 풀 때 융통성 있게 운용해야 한다. 예 4 와 5 의 탄젠트 삼각형은 없습니다. 선을 추가하여 구성됩니다. 조금 더 어렵습니다. 따라서, 일거수일투족을 하려면, 반드시 머리 속에서 이러한 성질에 깊은 인상을 받아야 한다.
접선 원의 특성과 응용
양혜진
삼각형의 탄젠트 원은 삼각형의 한 모서리와 다른 두 모서리의 연장선에 접하는 원입니다. 그것의 관련 성질은 입시와 경쟁 문제에서 자주 사용되지만 교재에는 거의 언급되지 않아 문제 해결에 많은 번거로움을 더했다. 먼저 동그란 성질과 응용을 말하다.
1. 성능
그림 1, ⊙O 는 BC 가장자리를 D 로, AB 와 AC 의 연장선을 E 와 F 로 자르면:
그림 1
(1) od = OE = of;
(2);
(3) 입니다.
사실, 그 역명제도 성립되었습니다.
(4) o 가 이등분선 a 의 한 점인 경우
그럼 O 는 △ABC 의 접선 중심입니다.
(5) O 가 A 의 이등분선에 있는 점, OE ⊡ AB 가 E 에 있고, OF ⊡ AC 가 F 에 있는 경우 O 는 △ABC 의 접선 중심입니다.
역명제의 증명은 다음과 같다.
그림 2 에서 볼 수 있듯이 교차 O 는 D 의 OD ⊡ BC 입니다.
그림 2
O 가 이등분선 a 에 있기 때문에
Oe ⊡ ab, of ⊡ AC,
그래서 OE=OF 입니다.
가로채기 FM = AC 의 연장선에서
그래서 rt △ BeO ∯ rt △ mfo
그래서 ...
왜냐하면,
다시 한번 말하지만,
그래서,
즉,
그래서, ∠BOC=∠COM, △ BOC △ MOC,
(BE+CF=BC, 즉 BC=CM 인 경우 모두 동일)
그래서,
O 는 ∠EBC 의 이등분선에 있습니다.
그래서 o 는 △ABC 의 측면 중심입니다.
2. 적용
예제 1. 그림 3 에서 볼 수 있듯이 EG 와 FG 는 각각 ∠MEF 와 ∠NFE 의 이등분선이며, 교차점은 각각 G, PB, PC ∠MBC, ∠NCB 의 이등분선이며, 교차점은 P 이고, 만약 G = 60 이면.
그림 3
솔루션: g 는 ∠MEF 와 ∠NFE 이등분선의 교차점이기 때문에
G 는 △AEF 의 중심, 마찬가지로 p 는 △ABC 의 중심.
성격 (2) 에서 우리는 알고 있습니다
예 2. 그림 4 와 같이 사각형 ABCD 에서 AB= 1 은 b 를 중심으로 하고, AB 를 반지름으로 하는 원의 호, 점 e 는 모서리 AD 의 임의 점 (점 e 가 a 와 d 와 일치하지 않음), 교차점 e 는 원의 접선, 교차점 DC 는 점 f, g 는 접점입니다
그림 4
(1) def = 45 인 경우 ，
확인: g 는 선 세그먼트 EF 의 중간점입니다.
(2) AE=x, FC=y 를 설정하고, X 에 대한 Y 의 해상도 함수를 구하여 인수의 값 필드를 작성합니다.
해결책: (1) ⊙B 는 두 개의 연장 EA, FC 및 △DEF 의 세 번째 모서리 EF 에 접하기 때문에
그래서 ⊙B 는 △DEF 의 접선 원입니다.
AE=EG, FC=GF,
왜냐하면, def = 45, d = 90,
그래서, dfe = 45 입니다.
DE=DF 입니다.
AE=FC, 즉 EG=GF 입니다.
(2) ⊙B 는 △DEF 의 접선 원이기 때문에 특성 (3) 에 의해 얻어진다
왜냐하면,
피타고라스 정리에서 우리는 알고 있습니다.
단순화, 획득
예 3. 그림 5 와 같이 사다리꼴 ABCD 에서 AD‖BC, ∠D = 90° 도, BC=CD= 12, ∠Abe = 45° 도, e 는 DC 에 있습니다
그림 5
해결책: b 는 BG ⊡ da 이고, 수직 발은 g 입니다. 분명히 BCDG 는 정사각형입니다
BG=BC= 12.
이것으로 알 수 있듯이, B 는 D 의 이등분선에 있습니다.
또 왔어요.
성질 (4) 에서 b 를 얻는 것은 △AED 의 접선 중심입니다.
특성 (3) 에 따라 AG+EC=AE 로 알려져 있습니다.
AG=a, EC=b 로 설정하면
A+b= 10 ①
AD2+DE2=AE2 에서 우리는
②
①, ② 에서
Rt △ ade ∯ rt △ FCE 에서 우리는 얻을 수 있습니다
FC=3 또는 FC=8,
그래서
=54
또는.
예 4. 그림 6 에서 볼 수 있듯이 △ABC 는 모서리 길이가 1 인 정삼각형이고 △BDC 는 모서리 각도가' BDC =120 인 이등변 삼각형으로 D 를 정점으로 60 도 각도, 그리고 AA 입니다. 증명: △AMN 의 둘레는 2 입니다.
그림 6
해결책: Abd = ACD = 90, DB=DC 를 쉽게 알 수 있습니다.
그래서 D 는 A 의 이등분선 위의 한 점이다.
또 왔어요.
그래서 d 는 △AMN 의 측면 중심입니다.
특성 (3) 에서 알 수 있듯이 MN=BM+NC,
그래서 △AMN 의 둘레 =AM+AN+MN 입니다.
=AM+AN+MB+NC=2AB=2.
예 5. 그림 7 과 같이 오각형 ABCDE 에서 오각형 ∠ABC =∠AED = 90° 도, AB=CD=AE=BC+DE= 1 인 경우 오각형의 면적은 _ 입니다
그림 7
해결책: 조건 de ⊡ AE, ab ⊡ BC, AB=AE= 1 을 기준으로 삼각형의 접선 원의 특성과 연결하고 BC 와 ed 의 교차점을 m 점으로 연장하면
A 는 ∠DMC 이등분선의 한 점입니다.
그리고 DC=DE+CB,
성질 (5) 에서 알 수 있듯이 A 는 △DMC 의 접선 중심입니다.
하나는 ah ⊡ DC 입니다.
특성 (1) 에서 우리는 AH=AB=AE= 1 을 알고 있습니다.
그리고 BC+DE=CD,
그래서
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