예제 1. 13 점을 모서리 길이가 1 인 정사각형에 임의로 배치합니다. 이 네 점을 정점으로 하는 사변형 면적이 초과하지 않도록 네 개의 점이 있어야 한다는 것을 증명했다.
증명: 그림과 같이 정사각형을 4 개의 면적이 같은 직사각형으로 나누면 13 의 네 점은 같은 직사각형 안에 있어야 하며 면적은 초과해서는 안 됩니다.
예 2. 반지름이 1 인 원에 무작위로 7 개의 점을 배치하여 두 점이 있어야 하며 이들 사이의 거리가 1 보다 크지 않음을 증명합니다.
예를 들어 원을 6 개의 동일한 부채꼴로 나누면 7 개 점 중 2 개가 같은 부채꼴 안에 있어야 하므로 거리가 1 을 초과하지 않는다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.
예 3. 3×4 직사각형에 6 개의 점을 임의로 배치합니다. 두 개의 점이 있어야 한다는 것을 증명했고, 그것들 사이의 거리는 크지 않다.
예를 들어, 직사각형을 다섯 조각으로 나누면 여섯 점 중 두 점이 같은 곳에 떨어지면 거리가 크지 않다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.
둘. 숫자의 문제
예 4. 7 개의 다른 정수를 마음대로 주세요. 반드시 두 개의 정수가 있어야 한다는 것을 증명하는데, 그것들의 합이나 차이는 10 의 배수이다.
증명: 정수를 10 으로 나눈 나머지에 따라 10 클래스로 나누고 10 클래스를 {0} (모든 정수를/kloc-0 으로 나눈 것을 나타냄 {1}, {9}; {2}, {8}; {3},{7}; {4},{6}; . 7 은 같은 무리에서 두 개의 숫자를 가져와야 하며, 같은 종류인 경우 차이는 10 의 배수입니다. 다를 경우 합계는 10 의 배수입니다.
예 5. 0 또는 1 과 1993 의 배수인 양의 정수가 있음을 증명합니다.
증명: 10,11 10,1/k93 의 수를 고려해 보십시오 1993 의 배수가 있다면 증명이 완료됩니다. 그렇지 않으면 1993 으로 나눈 나머지는 1, 2, ..., 1992 만 될 수 있습니다. 반드시 두 개의 숫자가 1993 으로 나누어져 있고, 나머지는 같고, 그것들의 차이는 1993 의 배수이다. 분명히 이 차이의 자릿수는 0 또는 1 입니다.
예 6. 1, 2,3 으로 구성된 30 자리 숫자를 임의로 쓰고, 이 30 자리 숫자에서 인접한 세 개의 숫자를 잘라 3 자리 숫자를 구성합니다. 위의 방법으로 두 개의 동일한 3 자리 숫자를 얻을 수 있다는 것을 증명했다.
총 28 개의 3 자리 숫자를 자를 수 있습니다. 33=27 개의 3 자리 숫자는 1, 2,3 으로 구성되며 두 숫자는 같아야 합니다.
예 7. 임의의 n+ 1 2n 보다 작은 서로 다른 양의 정수가 주어져 그 중 두 숫자의 합계가 세 번째 수와 같도록 선택할 수 있음을 증명합니다.
증명: n+ 1 양의 정수를 A0 으로 설정합니다
셋. 염색 문제
예 8. 3×7 바둑판의 각 체크 무늬는 빨간색과 파란색의 두 가지 색상 중 하나로 염색됩니다. 사각형 네 모서리의 정사각형 색상이 같은 여러 사각형으로 구성된 사각형이 있음을 증명합니다.
증명 1: 각 행의 두 상자 색상이 같습니다. 같은 색상의 선분으로 두 사각형의 중심을 연결하여 7 개의 선분을 얻습니다. 그 중 4 개는 같은 색이어야 하며 빨간색으로 설정되어 있어야 합니다. 세 가지 연결 방법 (세 가지 선택 2 의 정사각형) 만 있기 때문에 두 개의 빨간색 선 세그먼트는 같은 방식으로 연결되어야 하며, 해당하는 네 개의 사각형은 네 개의 모서리가 모두 빨간색인 사각형을 형성합니다.
증명 2: 첫 번째 줄에는 적어도 네 개의 같은 색상의 상자가 있습니다. 처음 네 개의 상자가 빨간색이라고 가정합니다. 두 번째 행의 처음 네 상자 중 두 개의 빨간색 사각형이 있는 경우 네 모서리 모두 빨간색인 사각형을 찾습니다. 그렇지 않으면 최소한 세 개의 사각형이 파란색이라면 처음 세 개의 정사각형을 말해라. 이제 세 번째 행의 처음 세 상자에는 같은 색상의 상자가 두 개 있어야 합니다. 빨간색이면 첫 번째 행과 같은 열에 네 개의 모서리가 있는 직사각형을 형성합니다. 파란색이면 두 번째 행과 같은 행에 있는 두 개의 파란색 사각형과 네 개의 모서리가 모두 파란색인 사각형을 형성합니다.
예 9. 평면에는 6 개의 점이 있는데, 세 점은 동일선상에 있지 않고 두 점 사이에 빨간색 또는 파란색 세그먼트를 연결하여 같은 색상의 삼각형 (같은 색상의 삼각형 3 면) 이 있어야 함을 증명합니다.
증명: 한 점 A 에서 시작하는 5 개의 선 세그먼트 중 3 개는 같은 색이어야 합니다. AB 1, AB2 및 AB3 을 빨간색으로 설정합니다. 세그먼트 B 1B2, B 1B3 및 B2B3 을 고려합니다. 빨간색 세그먼트 BiBj 가 있다면 △ABiBj 는 빨간색 삼각형입니다. 모두 파란색이라면 △ B 1B B 3 은 파란색 삼각형입니다.
코멘트: 한 점을 하나의 요소로 보고, 붉은 염료를 하나의 요소 사이의 관계로 보고, 파란 염료를 하나의 요소 사이의 관계로 본다면, 이 문제는 주어진 6 개의 요소, 어떤 두 요소든 관계가 있거나 관계 A 가 없는 세 가지 요소를 선택할 수 있습니다. 이들 사이에는 관계가 있거나 관계가 없습니다.
예를 들어, 원소를 성인으로 바꾸고, 두 원소의 관계를 상호 인식으로 바꾸면 다음과 같은 흥미로운 명제를 얻을 수 있다.
세계에서 마음대로 여섯 명을 골라서 세 사람을 찾을 수 있다는 것을 증명하고, 그들은 알지 못한다.
넷. "연속성" 문제
예제 10. 한 학생이 수학 복습에 1 1 주를 보냈다. 그는 하루에 적어도 한 가지 문제를 풀고, 매주 최대 12 문제를 한다. 며칠 연속으로 2 1 질문을 했다는 것을 증명했다. (자습서 P295/7)
증명서: 이 학생이 지난 I 일 동안 Xi 문제 (i= 1, 2, ..., 77) 를 했다고 가정하면 X 1
예제 1 1. TV 수리부의 한 근로자는 3 월 3 1 일 동안 하루에 적어도 한 대의 TV 를 수리하고 총 56 대의 TV 를 수리하여 그가 며칠 연속 (1 일 포함) 정확히 5 대의 TV 를 샀음을 증명했다. (자세한 내용은 P 167/3 참조)
증명: 그가 전날 Xi 역 (I = 1, 2, ..., 3 1) 을 수리했다고 가정하면 x1< x2 < … < X3 1=56, 설정 =xi+2 1, y 1
다섯째, 기타 문제
예제 12. 총 12 쌍의 젓가락 중 빨간색 젓가락 4 쌍, 흰색 젓가락 4 쌍, 검은색 젓가락 4 쌍 (같은 쌍의 젓가락 색깔이 같음). 젓가락을 꺼내려면 다른 색깔의 젓가락 두 켤레가 필요합니다. 적어도 얼마나 많은 젓가락을 꺼내야 합니까?
해결 방법: 첫째, 10 젓가락을 꺼내도 보장되지 않습니다. 예를 들면 빨간 젓가락 8 개, 흰 젓가락 2 개입니다. 둘째, 1 1 젓가락을 꺼내는 것은 보증할 수 있다. 1 1 젓가락에는 반드시 4 쌍의 같은 색깔의 젓가락이 있어야 하고, 이미 빨간 젓가락이 있기 때문이다. 빨간 젓가락 8 개밖에 없고, 적어도 젓가락 3 개는 다른 색이기 때문이다.
코멘트: 이런 문제를 해결하는 것은 일반적으로' 최악의 경우' 를 통해 성립할 수 없는 최대 수를 찾은 다음 이 수+1 이 반드시 요구 사항을 충족한다는 것을 증명한다.
예제 13. A 반 48 명의 학생, 각 학생은 반에서 친구가 있다. (A 가 B 의 친구라면 B 도 A 의 친구이다.) 적어도 두 명의 학생이 있다는 것을 증명하는데, 그들은 반에서 같은 많은 친구가 있다.
증명: 1 인당 반에 있는 친구 수는 0, 1, ..., 47, 하지만 0 과 47 은 동시에 얻을 수 없으므로 반에는 친구 수가 같은 사람이 두 명 있어야 합니다.
예제 14. 회전 가능한 원탁 주위에는 8 개의 의자가 골고루 놓여 있고, 의자를 마주보고 있는 책상 위에는 8 명의 명함이 놓여 있다. 여덟 명이 앉아 보니 아무도 자신의 명함을 마주하고 있지 않았다. 책상을 적절히 뒤집으면 적어도 두 사람이 자신의 명함을 마주할 수 있는 것으로 드러났다.
C: 테이블을 회전할 때마다 45 도, 시작 위치 포함, 8 회. 이 8 회 중 두 명 이상의 사람이 자신의 명함을 가리키지 않고 8 회 중 각각 자신의 명함을 한 번 가리킨다는 것을 알아챘다면, 이 8 회 중 1 개인만이 자신의 명함을 가리키지만, 처음에는 자신의 명함을 가리키지 않는 것은 모순적이다.