2. 피타고라스 정리의 응용을 통해 방정식의 사고와 논리 추리 능력을 배양한다.
3. 중국 고대 수학자와 서구 수학자의 피타고라스 정리에 대한 연구를 비교 소개하고 학생들에게 애국주의 교육을 실시한다.
교학의 중점과 난점
요점은 피타고라스 정리의 적용이다. 어려움은 피타고라스 정리의 증명과 응용이다.
교수 과정 설계
우선, 화제를 도입하는 흥미를 불러일으킨다
피타고라스 정리는 2000 년 전 중국 고대 수학자가 발견한 것으로, 피타고라스 정리에 대한 학생들의 흥미와 자부심을 불러일으켜 과제를 도입한 중국 수학자 화화의 건의를 소개했다.
둘째, 피타고라스 정리의 탐구, 증명 및 명명
1 .. 추측 결론.
피타고라스 정리의 내용은 무엇입니까? 수학자가 새로운 지식을 발견하는 즐거움도 체험해 보세요.
교사는 컴퓨터를 사용하여 다음을 시연합니다.
(1) △ABC 에서, a, b, c 의 반대쪽은 각각 a, b, c 이고, ∠ACB = 90°, 그래서 △ABC 입니다
(2) 위 과정에서 a2, B2, C2 는 항상 측정되며, 위의 일반적인 동작의 하나 또는 두 가지 상태 측정 값 (약 7 ~ 8) 을 표로 나열하여 학생들이 세 수 사이의 수량 관계를 관찰하고 추측을 할 수 있도록 합니다.
(3) 비교는 예각 삼각형과 둔각 삼각형의 3 면 제곱에 이런 관계가 없기 때문에 직각 삼각형 특유의 성질이라는 것을 보여준다. 학생들에게 언어로 그의 추측을 묘사하고, 그림을 그리고, 알려진 것을 쓰고, 검증하게 하다.
추측을 증명하다.
현재 세계에서 피타고라스 정리를 증명하는 방법은 수백 가지가 있다. 미국 제 20 대 대통령인 가필드도 188 1 (교재 109 쪽 그림 (4) 참조) 에서 면적 증명 방법을 제공했고, 중국 고대 수학자들은 그래픽 절단 접합의 사상을 이용하여 면적을 계산했다. 우리는 그 중 하나를 사용했습니다.
피타고라스 정리의 이름을 지정합니다.
중국은 이 결론을 피타고라스 정리, 서방은 피타고라스 정리라고 부른다. 왜요
(1)' 주역 서정' 에서 피타고라스 정리의 기록을 소개한다.
② 피타고라스는 기원전 582-493 년에 피타고라스 정리를 발견했다.
(3) 위의 사실을 비교 하 여, 학생 들에 게 애국 교육을 실시 하 고 진행 하도록 권장 합니다.
셋째, 피타고라스 정리의 적용
1. 알려진 직각 삼각형의 두 변에서 세 번째 가장자리를 찾을 수 있습니다.
예 1 Rt△ABC 에서 ∠C = 90, a, b, c 의 반대쪽은 각각 a, b, c 입니다.
(1) A = 6, B = 8 c 와 경사 가장자리의 높이를 구합니다. (2) a = 40, c = 4 1, b; (3) b = 15, = 25 a; (4) A: B = 3: 4, C = 15, b.
설명: (1) 의 경우 학생들에게 기본 그래픽 (그림 3- 153) 의 면적을 사용하여 경사 높이를 구하는 기본 방법을 요약하도록 요청합니다. (4) 의 경우, 학생들이 방정식의 사상을 이용하여 문제를 해결하도록 지도하다.
선생님은 (1) 과 (4) 를 칠판에 적어 학생들이 (2) 와 (3) 을 연습하게 했다.
예 2 거리 찾기 (0 까지 정확함. Lmm) 은 그림 3- 152 에 표시된 직사각형 부품에 있는 두 구멍의 중심 A 와 B 사이 (mm 단위) 입니다.
선생님은 그림의 크기에 따라 직각 삼각형 ABC 에서 알려진 조건의 투영을 구하는 방법을 보여 주셨다.
연습 1 투영표시: (1) 등허리 Rt△ABC, ∠C = 90°, AC: BC: ab = _ _ _ _ _
(2) 그림 3-153' ACB = 90,' a = 30, BC: AC: ab = _ _ _ _ _ _ _ AB = 8 인 경우 AC = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； _ _ _ _; Cd 가 ab 인 경우 CD = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.
(3) 등변 △ABC 의 모서리 길이가 a 인 경우 높이 AD = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，
S △ABC=______________
설명:
(1) 방정식의 사상으로 문제를 푸는 법을 배우다.
(2) 이 문제를 통해 학생들은 기본 그래픽의 몇 가지 일반적인 결론을 요약하고 숙지할 수 있습니다.
① 이등변 직각 삼각형의 세 변의 비율은1:1:;
② 각도가 30 인 직각 삼각형의 3 면 비율은1::2;
③ 모서리 길이가 a 인 등변 삼각형의 높이는 a 이고 면적은
예 3 (판서) 그림 3- 154, AB = AC = 20, BC = 32, △ DAC = 90. BD 의 길이를 구하다.
분석:
(1) 분해 기본도, 기본도는 이등변 △ABC 와.
Rt△ADC；;
(2) 치수 보조선-이등변 △△ABC 바닥의 높이를 추가합니다.
AE 는 Rt△ADC 사변의 높이이기도 합니다.
(3) BD 를 X 로 설정합니다. 그림 3- 153 의 기본 관계를 이용하여
열 방정식으로 풀다. 선생님이 칠판에 글씨를 쓰는 상세한 과정.
해법은 e 의 AE ⊡ BC 이고 BD 를 x 로 설정하면 DE= 16-x, AE2=AC2-EC2, ad2 = de2+ae2 = dc2-aa 입니다 위 공식에 대입하여 DE2+AC2-EC2=DC2-AC2, 즉 2AC2 =
∮ 2× 202 = (32-x) 2+162-(16-x) 2,x = 7 입니다.
2. 피타고라스 정리로 그리다.
예 4 는 길이가 인 세그먼트입니다.
참고: 교재 10 1 페이지에 따라 그래프를 분석하고 직각 삼각형의 구성 방법과 자체 정의 단위 길이를 강조하면 됩니다.
피타고라스 정리로 증명하십시오.
예 5 그림 3- 155, △ABC 에서 CD ⊡ AB 는 D, AC >；; 기원전.
검증: ac2-bc2 = ad2-bd2 = ab (ad-BD).
분석:
(1) 직각 삼각형의 분해는 피타고라스 정리를 사용합니다.
Rt△ACD 에서 AC2 = Ad2+Cd2；; Rt△BCD 에서 BC2 = Cd2+BD2 입니다.
(2) 대수학의 상수 변형 기술을 사용하여 정렬:
AC2-BC2=(AD2+CD2)-(CD2+BD2)
=AD2-BD2
=(AD+BD)(AD-BD)
=AB(AD-BD) 입니다.
예 6 은 그림 3- 156, RT △ ABC, ∯ ACB = 90, D 는 BC 의 중점이고, DE ⊡ AB 는 E. 검증: AC2 = AE2-
해결: 보조 연결 AD 를 추가하고, 두 개의 새로운 직각 삼각형을 구성하고, 피타고라스 정리와 결론 관련 표현식을 선택하여 증명합니다.
4. 선택적 예.
(1) 그림 3- 157 과 같이 Rt△ABC 에서는 c = 90, a =15 △ABC 의 면적을 구하다.
팁: 보조 선 추가-BA 의 수직선은 BA 와 D 를 교차하고, AC 는 E 에서 교차하며, 연결 BE 는 사이각이 30 인 직각 삼각형 BCE 를 형성하며 피타고라스 정리로 해결하거나, ∠ABC 에서 직접 "ABE =1"을 만듭니다.
(2) 그림 3- 158, △ABC, ∯ a = 45, b = 30, BC = 8. 교류 측면의 길이를 구하다.
해석: D 에 보조 Lines-CD ⊡ AB 를 추가하여 45 도 및 30 도 직각 삼각형 방정식을 구성합니다.
(3) 그림 3- 159(a) 와 같이 사변형 ABCD 에서 b =
D = 90, c = 60, AD= 1, BC=2, AB, CD 를 찾습니다.
팁: 치수 보조선 추가-E 점에서 BA 와 CD 의 교차점을 연장하고 RT △ EAD 와 RT △ EBC 를 30 각도로 구성합니다. 그들의 특성을 이용하여 문제를 해결하다 (그림 3- 159(b) 참조). 또는 사변형 ABCD 를 직각 삼형체와 30 도 직사각형으로 나누어 문제를 해결할 수 있습니다. (그림 3-65438 참조)
대답: AB=23-2, CD = 4-3.
(4) 알려진: 3- 160(a), 직사각형 ABCD .. (네 각은 모두 직각이다)
①P 는 PA2+ PC2= PB2+ PD2 를 증명하는 직사각형의 한 점입니다.
② P 가 AD 가장자리 (그림 3- 160 (b)) 와 직사각형 ABCD 외부 (그림 3- 160 (c)) 로 이동했을 때 결론이 여전히 성립되는지 여부.
분석:
(1) 네 개의 직각 삼각형 (p 를 통해 ef ⊡ BC, BC 를 통해 f) 에 각각 안내선을 추가합니다.
피타고라스 정리를 사용하다.
(2) 세 가지 문제는 다음과 같은 명제로 요약 될 수있다.
직사각형 평면에서 임의의 점에서 인접하지 않은 정점까지의 거리의 제곱합은 같습니다.
넷째, 교사와 학생 * * * 과 추억
1. 피타고라스 정리의 내용과 증명 방법.
2. 피타고라스 정리의 역할: 삼각형의 모양 피쳐 (한 각도가 90) 를 수량 관계로 변환할 수 있습니다. 즉, 3 면이 a2+b2=c2 를 충족합니다.
3. 피타고라스 정리로 증명을 계산할 때 방정식의 사상으로 직각 삼각형의 관련 세그먼트를 구하는 것에 주의해야 한다.
용; 치수 보조선을 사용하여 직각 삼각형을 구성하고 피타고라스 정리를 사용합니다.
동사 (verb 의 약어) 숙제
1. 교재 106 페이지, 2 ~ 8 번 질문.
2. 교과서 109 면 참조: 피타고라스 정리의 증명.
교실 수업 설계 설명
이 교수 설계는 2 교시가 걸려야 완성할 수 있다.
1. 피타고라스 정리는 직각 삼각형의 3 면 사이의 수량 관계를 보여 주는데, 이것은 직각 삼각형의 중요한 성질이다. 본 교육 설계는 컴퓨터의 우월한 조건 (기하학적 드로잉 보드 소프트웨어를 통해 동적으로 표시됨) 을 활용하여 다양한 모양, 크기, 위치가 변하는 직각 삼각형 등 충분한 전형적인 재료를 제공합니다. 이를 통해 학생들은 분석을 관찰하고 요약하며 직각 삼각형 3 면 사이의 관계를 탐구하고 예각, 둔각 삼각형과 비교할 수 있습니다.
2. 학교에서도 자신의 교육조건에 따라 다음과 같은 유추, 연상의 탐구방법을 이용하여 새로운 과정을 도입할 수 있다.
(1) 삼각형의 세 변의 관계를 검토하여 작은 두 변의 합계가 세 번째 모서리보다 큰 법칙을 요약합니다.
(2) 학생들에게 연상을 비유하도록 유도한다. 작은 두 변의 제곱합은 세 번째 변의 제곱과 어떤 관계가 있는가?
(3) 세 가지 예를 들어 보십시오 (그림 3- 16 1 (a) (b) (c) 참조).
비교를 통해 예각 삼각형과 둔각 삼각형 중 두 개의 작은 변의 제곱합이 각각 세 번째 변의 제곱보다 크거나 작은 것으로 나타났습니다. 직각 삼각형 중 두 개의 작은 모서리의 제곱합은 세 번째 변의 제곱과 같습니다.
(4) 교구 데모 그림 3- 15 1 을 사용하여 직각 삼각형 추측을 확인합니다.
교수 목적: 1, 피타고라스 정리의 역정리를 설명할 것이다.
2. 피타고라스 정리의 역정리로 삼각형을 직각삼각형으로 판정한다.
3. 피타고라스 정리와 피타고라스 역정리를 정확하고 유연하게 적용할 수 있다.
가르침 초점: 피타고라스 정리의 역 정리의 적용
교육의 어려움: 피타고라스 정리의 역 정리의 증명
교수법: 강의와 실습의 결합
교육 과정:
첫째, 복습 문제
1, 피타고라스 정리의 서면 언어
피타고라스 정리의 기하학적 기호 언어
피타고라스 정리의 역할
4. 빈 칸 채우기: 주어진 직각 삼각형의 두 변은 모두 5, 12 이고 세 번째 변의 길이는 입니다.
둘째, 새로운 커리큘럼의 도입
피타고라스 정리는 하나의 명제로, 어떤 명제든 역명제가 있다. 그것의 역명제는 무엇입니까?
셋째, 새로운 수업을 해설한다
피타고라스 정리역정리의 서면 언어: 삼각형의 세 변의 길이: A, B, C 가 관련이 있고 a2+b2=c2 인 경우 이 삼각형은 직각 삼각형입니다.
하나의 명제는 진명제와 가짜 명제로 나눌 수 있다. 먼저 진짜인지 거짓인지를 증명해야 한다.
ABC 에서 AB=c, BC=a, CA=b, a2+b2=c2 로 알려져 있습니다.
확인: c = 90?
해석: 한 각도가 90 이라는 것을 증명합니까? , AC ⊡ BC 를 증명할 수 있습니다
책으로 증명할 수도 있고, 독학할 수도 있다.
피타고라스 정리의 역명제를 증명하는 것은 진명제, 즉 피타고라스 정리의 역정리이다.
피타고라스 정리의 역정리의 기하학적 기호 언어: δ ABC: a2+B2 = C2 (또는 C2-A2 = B2)
∮ c = 90? (피타고라스 정리의 역정리)
중점: 위 관계를 만족시키기만 하면 반드시 직각 삼각형이고, 긴 쪽은 비스듬한 면이고, 마주 보고 있는 각도는 직각이다. (윌리엄 셰익스피어, 직각자, 직각자, 직각자, 직각자, 직각자, 직각자)
예를 들어 세 면이 각각 3,4,5 인데 직각 삼각형, 5, 12, 13 을 만들 수 있을까요? 9, 40, 4 1?
피타고라스 수: 직각 삼각형의 세 변의 길이가 될 수 있는 세 개의 양의 정수는 피타고라스 수 (또는 피타고라스 수) 라고 합니다.
책 102- 103, 정의 그리기, 작업 완료 103, 1, 3 페이지.
예 1δABC 의 세 변은 직각 삼각형을 형성하고 어느 쪽이 직각인지 나타내는 다음 값 세트입니다. 그렇지 않으면 ×
⑴a= 1, b=, c= 1
⑵a= 1.2, b= 1.6, c=2
⑶a:b:c=2: :2
⑷a=n2- 1, b=2n, c= n2+ 1(n> 1)
5] a = 2n2+ 1, b=2n2+2n, c = 2mn (m > n) m 과 n 은 양의 정수입니다.
솔루션 (1) ∶12+12 = () 2 ∶abc 는 ∶b 를 직각으로 하는 삼각형입니다.
⑵ 22-1.62 = (2+1.6) (2-1.6) =/kloc
8750δ ∴δABC 는 8750δB 를 직각으로 하는 삼각형입니다.
(3) (4) (5) 해석.
강조: 큰 수의 경우 평분산 공식을 사용하여 간단한 연산을 수행할 수 있습니다.
예 2 는 다음과 같이 알려져 있습니다. AD=3, AB=4, ∠BAD=90? , BC= 12, CD= 13,
사변형 ABCD 의 면적을 구하다.
해결: BD 를 연결하여 BD=5 를 구합니다.
∶bd2+bc2 = Cd2 ∰cbd = 90?
사변형의 면적 ABCD =δAbd 의 면적 +δBD 의 면적.
해결 방법: 생략
예 2 알려진: 그림, ABC 에서 CD 는 AB 변의 높이, CD2=AD2? 신 학사
증명: ABC 는 직각 삼각형입니다
해석: ABC 가 직각 삼각형임을 증명합니다.
AC2+BC2=AB2 만 증명하면 됩니다
Rt δ ACD 에서 ∫∠ACD = 90?
≈ ac2 = ad2+Cd2
마찬가지로 BC2=CD2+BD2 입니다.
≈ ac2+bc2 = ad2+2 Cd2+bd2
=(AD+BD)2
∶δ ABC 는 직각 삼각형입니다.
학생들이 스스로 증명 과정을 완성하게 하다.