컬렉션은 두 가지 범주로 나눌 수 있습니다. 첫 번째 범주는 컬렉션 자체가 컬렉션의 한 요소라는 것입니다. 예를 들어 당시 사람들은 종종 "모든 컬렉션으로 구성된 컬렉션" 이라고 불렀습니다. 두 번째 컬렉션은 집합 자체가 집합의 요소가 아니라는 특징이 있습니다 (예: 직선상의 점 집합). 분명히 컬렉션은 두 가지 컬렉션 중 하나여야 하며 하나만 있어야 합니다. 이제 우리는 R 이 모든 두 번째 유형의 컬렉션의 집합이라고 가정합니다. 그럼 R 은 어떤 집합인가요?
러셀의 역설
R 이 첫 번째 클래스인 경우 R 은 자체 요소이지만 정의에 따르면 R 은 두 번째 유형의 컬렉션으로만 구성되므로 R 도 두 번째 유형의 컬렉션입니다. R 이 두 번째 유형의 집합인 경우 R 의 정의에 따라 R 은 R 의 요소여야 하므로 R 도 첫 번째 유형의 집합입니다. 어쨌든 나는 진퇴양난으로 답을 줄 수 없다. 이것은 유명한 "러셀 역설" 입니다.
러셀 역설의 예
러셀 역설의 예
세계 문학 명작' 돈키호테' 에는 한 가지 이야기가 있다.
돈키호테의 하인 산추 판샤는 한 섬으로 달려가 섬의 왕이 되었다. 그는 이상한 법률을 제정했다: 이 섬에 도착한 모든 사람들은 반드시 한 가지 질문에 답해야 한다. "여기서 뭐하는 거야?" " 답이 맞으면 섬에 가서 놀게 하고, 답이 틀리면 목을 매어라. 섬에 오는 모든 사람들에게 그들은 재미를 찾거나 교수형을 당했다. 얼마나 많은 사람들이 감히 생명의 위험을 무릅쓰고 이 섬에서 놀고 있습니까? 어느 날 대담한 사람이 왔다. 전례대로 그에게 이 문제를 묻자, 그 사람의 대답은 "나는 목매어 죽이러 왔다." 였다. 산추 판사가 그를 섬에서 놀게 할 것인가, 아니면 목매달아 죽일 것인가? 만약 그가 섬에서 놀도록 허락되어야 한다면, 이것은 그가 말한' 교수형' 과 일치하지 않는다. 즉, 그가 말한' 교수형' 은 잘못된 것이다. 그가 틀렸으니, 그는 교수형에 처해져야 한다. 하지만 만약 산추 판사가 그를 교수형에 처하려고 한다면? 이때 그가 말한' 교수형에 처해야 한다' 는 것은 사실과 일치하고 정확하다. 그가 맞혔으니 교수형에 처해서는 안 되고 섬에서 놀게 해야 한다. 이 섬의 왕은 그의 법이 집행될 수 없다는 것을 발견했다. 어쨌든 집행되면 파괴될 것이기 때문이다. 그는 생각하고 또 생각하고, 결국 경비원에게 그를 놓아주고, 법률이 무효라고 선포했다. 이것은 또 하나의 역설이다.
유명한 수학자 버트랜드 러셀 (Russel, 1872- 1970) 이 제기한 역설도 비슷하다.
어느 도시에 이발사가 있는데, 그의 광고에는 "나는 이발 기술이 뛰어나서 온 도시가 유명하다" 고 적혀 있다. 나는이 도시에서 면도하지 않는 모든 사람들에게 면도를 할 것이고, 나는이 사람들에게만 면도를 할 것이다. 여러분께 열렬한 환영을 표합니다! " 남이 그에게 와서 면도를 하니, 당연히 자기가 면도하지 않는 사람이다. 그런데 어느 날 이발사가 거울 속에서 그의 수염이 자라는 것을 보았다. 그는 본능적으로 면도기를 잡았다. 너는 그가 스스로 면도할 수 있다고 생각하니? 만약 그가 스스로 면도하지 않는다면, 그는' 스스로 면도하지 않는 사람' 에 속한다. 그는 스스로 면도해야 한다. 만약 그가 스스로 면도한다면요? 그는' 자기가 면도하는 사람' 에 속하므로 스스로 긁어서는 안 된다.
바버 역설과 러셀 역설은 동등하다.
모든 사람을 하나의 집합이라고 생각한다면, 이 집합의 원소는 이 사람이 깎을 대상으로 정의되기 때문이다. 그런 다음 이발사는 그의 원소가 마을의 모든 소장품이며, 마을의 모든 소장품은 그의 소장품이 아니라고 주장했다. 그럼 그는 자기 소유인가요? 이로써 바버의 역설에서 러셀 역설이 나왔다. 역변환도 마찬가지다.
거짓말쟁이의 역설과 거짓말쟁이의 순환은 자연어 표현과 밀접한 관련이 있는 역설로, 진위, 정의, 이름, 의미 등의 의미 개념을' 의미 역설' 이라고 한다. 의미 역설의 예는 매우 많다. "K.Grelling)- L.Nelson 역설" 은 매우 흥미롭다. 이것은 형용사의 응용과 관련이 있다.
형용사는 두 가지 범주로 나뉘는데, 하나는' 자지손가락' 이라고 하는데, 즉 자신이 진실이라는 것이다. 예를 들어 형용사' 다음절' 자체는 다음절이고' 영어' 자체는 영어다. 모두 자기 손가락질하는 것이다. 또 다른 이름은' 무슨 말을 하는 것' 인데, 바로 자신에 대해 진실하지 않고, 자신에게 진실하지 않은 것이다. (조지 버나드 쇼, 자기관리명언) 예를 들어 형용사' 단음절' 은 단음절 단어가 아니기 때문에 이런 뜻이다. 영어' 도 이 뜻이다. 이 단어는 중국어이지 영어가 아니기 때문이다. 질문은: 형용사 "그것이 가리키는 것" 은 그것이 가리키는 것입니까?
그 결과, 만약 그것이 말하는 것이라면, 그것이 말하는 것이 아니라, 그 반대의 경우도 마찬가지라는 것을 알 수 있다. (알버트 아인슈타인, 언어명언) 자기 모순을 초래하다.
집합론의 역설과 공리화
또 다른 역설은 수학의 집합론을 다루는데,' 수학 역설' 또는' 집합론 역설' 이라고 불린다. 집합론은 독일의 수학자 콘토르가 19 세기 70, 80 년대에 창립한 것으로, 일종의 무한관인' 실무궁' 에 기반을 두고 있다. 이른바' 실무한' 이란' 무한' 을 완전한 개념 실체로 삼는 것이다. 예를 들어 집합론에서 n = {n: n 은 자연수} 는 모든 자연수의 집합을 나타내는 데 사용됩니다. 앞서 수천 년 동안의 수학 발전에서, 또 다른 무궁무진한 관점이 지배적이라는 점을 지적해야 한다. 즉 고대 그리스 철학자 아리스토텔레스가 주창한' 무궁무진한' 개념이다. 이른바' 잠재적 무한' 이란' 무한' 을 끊임없이 발전하고 영원히 완성할 수 없는 과정으로 여기는 것이다. 예를 들어 자연수를 무한한 시퀀스 1, 2,3, ..., N, ... 바로 그렇습니다.
집합론은 수학 개념과 방법의 혁명적인 변화이다. 오래된 수학 이론을 해석하고 새로운 수학 이론을 개발하는 것이 매우 편리하기 때문에 점점 많은 수학자들이 받아들이고 있다. 하지만 콘토르가 집합론을 창설한 지 얼마 되지 않아 그 자신도 이 문제를 발견했다. 1899 의' 콘토르 역설' 은' 최대 기수 역설' 이라고도 불린다. 이와 함께 다른 집합론 역설도 발견됐다. 가장 유명한 것은 190 1 의' 러셀 역설' 이다.
컬렉션은 두 가지 범주로 나뉩니다. 자신을 요소로 사용하지 않는 모든 컬렉션을 정규 컬렉션이라고 합니다. 예를 들어 자연수 집합 N 자체는 자연수가 아니므로 N 은 정규 컬렉션입니다. 자신을 요소로 하는 모든 컬렉션을 예외 세트라고 합니다. (예를 들어, 모든 비생물 집합체 F 는 생물이 아니기 때문에 F 는 비정상적 집합이다. ) 각 컬렉션은 일반 컬렉션이나 예외 컬렉션이 아닙니다. V 를 모든 정규세트의 집합인 v = {x: x? X}, 그럼 V 는 정규집인가요?
V 가 정규세트라면 정규세트의 정의에서 V 를 어떻게 알 수 있나요? V, V 는 모든 정규세트의 집합이기 때문에 정규세트 V ∩ V 이지만, 이는 V 가 정규세트가 아니라 비정규집합이라는 것을 보여준다. 반면, V 가 정규세트가 아니라 비정규세트라면 비정규세트의 정의에서 V ∝ V 를 알 수 있습니다. 이는 V 가 모든 정규세트로 구성된 집합 V 의 한 요소이므로 V 는 정규세트여야 합니다.
러셀 역설은 혹독한 사실을 드러낸다: 집합론은 논리적 모순을 내포하고 있다. 만약 수학이 집합론에 기초한다면, 수학 빌딩의 기초에 깊은 균열이 생기게 되고, 심지어 건물 전체를 전복시킬 수도 있다. 일석이 천층의 파도를 일으키며 수학의 기본 문제에 대한 논쟁이 터졌다.
이 논쟁에서 네덜란드 수학자 브라우웰을 대표하는 가장 급진적인 직관주의 학파는 집합론에 대해 완전히 부정적인 태도를 취했으며,' 실무한대' 의 개념이 집합론 역설의 근원이라고 생각한다. 반대로, 다른 수학자들은 역설을 피하기 위해 개선의 길을 걷고, 소 잃고 외양간 고치려고 시도하고, 집합론을 적절히 수정하였다. 이 방면의 대표적인 성과는 공리집합론으로, 이미 현대 수학의 중요한 분기가 되었다. 공리집합론은 공리화 방법으로 집합과 그 연산을 묘사하고, 칸토 집합론에서' 일반화 원칙' 을 수정했다. 요약 원리는 특성 P 를 만족하는 모든 오브젝트가 집합 S, 즉 S = {x: P(x)} 를 구성할 수 있다는 것을 나타낼 수 있습니다. 여기서 P (x) 는 "x 는 특성 P" 를 나타냅니다. 이것은 어떤 성질이라도 집합을 결정할 수 있다는 것을 증명해 주며, 앞서 언급한 F 와 V 는 하나의 집합이 되고 역설이 생겨났다.
공리집합론의 ZF 체계에서 보급 원칙은 다음과 같은' 분리 원칙' 으로 대체된다. c 가 집합이라면 c 에서 특성 p 를 만족하는 요소들은 집합 s = {x: x ∩ c, P(x)} 를 구성한다. 즉 c 가 집합인 경우 모든 성질은 공리화의 결과, 정상 집합만이 집합체가 될 수 있고, 이상집합으로는 안 되고, F 와 V 는 집합체가 아니며, 러셀 역설과 기타 집합론 역설을 피할 수 있다.
공리집합론은 집합론의 기존 역설을 피할 수 있고, 이를 바탕으로 수학을 더 발전시킬 수 있다는 점에서 성공적이다. 유감스럽게도, 사람들은 공리집합론 체계의 준수성을 증명할 수 없다. 즉, 논리적 갈등이 체계에서 파생되지 않는다는 것을 증명할 수 없다. 또한 현대 수학의 일부 결과에는' 선택공리' 가 필요하지만, 이로 인해 직관에 어긋나는 이론 (예:' 분구론') 이 생길 수 있다. 따라서 공리집합론의 처리, 특히 공리의 사용을 더 논의할 필요가 있다.
역설에 대한 심도 있는 토론.
러셀 역설의 발견은 또한 역설 (의미 역설 포함) 의 원인에 대한 심도 있는 사고를 촉진시켰다. 1905- 1906 기간 동안 푸앵카레가 역설을 제기한 원인은 수학과 논리에서 간접 술어의 정의에 대한 결론이다. 간접 정의란 개념 (또는 객체) 자체가 그 자체에 속하는 하나의 전체를 통해 개념 (또는 객체) 을 정의하는 것을 말합니다. 이 정의는 순환 (러셀이' 악순환' 이라고 부르는 것) 또는' 자기개입' 이다. 예를 들어, 예외 세트 "모든 비생물 세트 F" 가 그렇습니다. F 는' 모든 비생물' 의 전체로 정의되기 때문에 F 자체가 이 전체의 일원이기 때문이다. 의미 역설을 고찰하면 비슷한' 순환' 이나' 자기개입' 의 흔적도 발견할 수 있다. 예를 들어' 거짓말쟁이 순환' 은 A 와 B 두 사람의 말이 서로 순환하는 것을 의미하고, 글렌 넬슨 역설에서' 자기지칭' 과' 기타-표어' 의 정의는 형용사의 참과 거짓을 포함한다.
193 1 년, 타르스키는' 형식언어의 진리 개념' 기사에서' 언어수준' 이론을 제시했다. 이 이론은 주로 형식 언어를 겨냥한 것이지만, 일상 언어의 의미 역설에 대한 연구에도 중요한 의의가 있다. 타르스키는 일상 언어가 의미적으로 폐쇄적이라고 생각한다. 즉, 언어 표현식과 이러한 언어 표현식의 의미 속성을 설명하는 문 (예: "참" 과 "거짓") 이 모두 포함되어 있다. 이것이 바로 의미 역설의 근원이다. 본질적으로 정확하고 형식적으로 정확한' 진문' 의 적절한 정의를 세우기 위해서는 언어를 계층화할 필요가 있다. 토론한 문장은 특정 수준의 언어 ('객체 언어' 라고 함) 에 속하고, 문장의 의미 성질을 진술하는 문장은 더 높은 수준의 언어 ('메타언어' 라고 함) 에 속한다. 사기꾼 역설' 은 자신의 진리를 단언하고 언어의 계층을 혼동했기 때문이다.
1975 당대 유명 논리학자 S.A. 크리프크는' 진리 이론 개요' 글에서 역설에 대한 새로운 해결책을 제시했다. 핵심 개념 중 하나는 "루트" 입니다. 참 술어가 있는 문 ("참" 또는 "거짓") 을 판단하려면 이 문의 "루트"-해당 참 술어가 없는 문을 찾아야 합니다. 예를 들어' 물은 무색투명이다' 라는 말이 사실인지 거짓인지를 판단하는 것은' 물은 무색투명이다' 라는 말이 옳은지 아닌지를 봐야 한다. 후자의 문장에는 진값 술어가 포함되어 있지 않아 옳고 그름을 판단할 수 있다. 그래서 앞의 문장은 뿌리가 있다. 어근이 있는 어구만이 진위를 판단할 수 있고, 어근이 없는 어구는 판단할 수 없다. 사기꾼 역설' 과' 사기꾼 순환' 은 모두 뿌리가 없는 것이 역설의 기본 특징이다.
최근 역설에 대한 연구는 상황 의미론의 영향을 받았다. 언어 논리학자들은 많은 의미 역설이 의미론뿐만 아니라 언어 사용자를 포함한 말의 맥락과 밀접한 관련이 있다는 점을 지적합니다. (윌리엄 셰익스피어, 언어, 언어, 언어, 언어, 언어, 언어, 언어, 언어, 언어, 언어, 언어) "사기꾼의 역설" 을 예로 들어 보겠습니다. 한 사람이' 내가 거짓말을 하고 있다' 고 말할 때, 그가 이 말을 어느 정도 맥락에서 진실로 단언했다는 것을 의미한다. 그러나' 나는 거짓말을 하고 있다' 는 말은 거짓이지만, 단지 같은 맥락에서 진술할 수 없고, 다른 맥락에서는 진술할 수 없다. 따라서 역설의 근원은' 자기 개입' 이 아니라 다른 맥락에 있다. 모든 문장의 문맥이 명확하다면, 많은 소위' 역설' 은 더 이상 진정한 역설이 아니다.