가장 중요한 것은 누가 전체인지, 누가 추출할 부분을 가리는 것이다.
또' 분할법' 의 기교도 있는데, 문제를 만들어 연습할 수 있다.
패턴을 찾을 수 있습니다 ~ ~
확률에 관해서는 두 부분으로 나뉜다.
한정된 조건을 버리는 변위군 협력의 분모.
분자 한계 조건의 배열 조합에 대하여
그러나 배열 조합의 기초를 잘 세워야 한다.
어쨌든 문제를 많이 풀면 느낌이 든다.
조건이 비슷한 문제를 찾는 것이 좋으며, 문제마다 결과가 다르다.
문장 한 편 더 찾아 드릴게요 ~ ~ ~
1. 부품 배열 및 조립은 중학교 수학의 어려움 중 하나입니다
(1) 다양한 실제 문제에서 몇 가지 구체적인 수학 모델을 추상화하려면 강한 추상적인 사고 능력이 필요하다.
(2) 제한 조건이 애매한 경우가 있어 문제의 키워드 (특히 논리 관련 단어와 양어) 를 정확하게 이해해야 하는 경우도 있다.
(3) 계산 방법은 간단하고, 오래된 지식과 연관이 크지 않지만, 정확하고 합리적인 계산 방안을 선택할 때 많은 사고가 필요하다.
(4) 계산 방안이 옳은지 아닌지는 종종 직관적인 방법으로 검증할 수 없다. 이를 위해서는 개념과 원리를 이해하고 분석 능력이 강해야 한다.
두 가지 기본 계산 원리와 그 응용
(1) 더하기 원리 및 분류 계산 방법
1. 덧셈 원리
2. 덧셈 원리의 집합 형태
3. 분류 요구사항
각 클래스의 각 메서드는 이 작업을 독립적으로 수행할 수 있습니다. 두 가지 다른 방법 중 구체적인 방법은 서로 다릅니다 (즉, 분류가 무겁지 않음). 이 임무를 완수하는 모든 방법은 어떤 부류에 속한다 (즉, 분류가 새지 않는다)
(2) 곱셈 원리와 단계 방법.
1. 곱셈 원리
2. 합리적인 단계별 요구 사항
어떤 단계에서도 이 임무를 완성할 수 없고, 이 N 단계를 연속적으로 완성해야만 이 임무를 완성할 수 있다. 각 단계는 서로 독립적입니다. 한 단계에서 채택된 방법이 다르면 이를 완성하는 방법도 다르다.
[사례 분석] 조합 사고 방법 선택 강의 정렬
1. 우선 임무의 의미를 명확히 한다.
예제 1. 1, 2, 3, ... 및 20 에서 등차 열을 구성하는데, 이렇게 다른 등차 열은 _ _ _ _ _ _ 입니다.
해결: 우선 복잡한 생활배경이나 기타 수학 배경을 명확한 배열조합 문제로 바꿔야 한다.
A, B, C 는 동등하고, ≈ 2B = A+C, 우리는 B 가 A, C 에 의해 결정된다는 것을 알고 있다.
그리고 ∵ 2b 는 짝수이고, ∳ a, c 는 홀수나 짝수이다. 즉 1, 3,5 의 10 개 숫자 중에서 두 숫자를 선택한다 ..., 19 또는 2,4,6
예 2. 한 도시에는 네 개의 물건이 거리로 향하고, 여섯 개의 남북이 거리로 향하고 있으며, 거리는 그림과 같이 간격이 같다. 만약 규정이 그림의 노선의 두 방향으로만 갈 수 있다면, M 에서 N 까지 몇 가지 다른 방법이 있습니까?
분석: 실제 배경에 대한 분석은 레이어별로 심도 있게 진행될 수 있습니다.
(1) m 에서 n 까지 3 단계, 오른쪽 5 단계, 8 단계에서 * * * 까지 올라가야 합니다.
(2) 각 단계가 상향인지 정확한지에 따라 다른 길을 결정합니다.
(3) 사실 위쪽 단계가 결정되면 나머지 몇 단계는 오른쪽으로만 이동할 수 있습니다.
따라서 작업은 다음과 같이 설명 할 수 있습니다. 8 단계에서 위로 올라갈 3 단계를 선택하면 단계 수를 결정할 수 있습니다.
이 질문에 대한 답은 =56 입니다.
2. 덧셈 원리와 곱셈 원리의 특징에 주의하여 분류 또는 단계별, 배열 또는 조합인지 분석합니다.
예 3. 10/0 밭고랑의 병립밭에서 두 밭고랑을 각각 A, B 두 가지 작물을 골라 각각 한 밭고랑을 심었다. 작물 성장에 도움이 되도록 두 그루의 작물 간격이 6 밭고랑 이상이고 _ _ _ _ _ _
해결:' 갑, 을 작물 간격이 6 밭고랑보다 작지 않다' 는 조건은 행 수와 조합 수를 포함하는 공식으로 쉽게 표현할 수 없기 때문에 분류 방법을 채택한다.
첫 번째 범주: 첫 번째 능선에서 a, b 에는 세 가지 옵션이 있습니다.
두 번째 범주: 두 번째 능선에서 a, b 에는 두 가지 옵션이 있습니다.
세 번째 범주: 세 번째 능선에서 a, b 는 선택의 여지가 있습니다.
마찬가지로 a 와 b 의 위치 교환, *** 12 종.
예 4. 6 개의 다른 색상의 장갑 중에서 4 쌍의 장갑을 선택하는데, 그 중 한 쌍의 같은 색상의 장갑은 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 입니다.
240 (b)180 (c)120 (d) 60
분석: 분명히 이 문제는 점진적으로 해결해야 한다.
(1) 6 쌍 중에서 같은 색깔의 장갑 한 켤레를 선택할 수 있는 방법이 있습니다.
(2) 한 가지 방법은 나머지 10 개의 장갑 중 하나를 선택하는 것이다.
(3) 위에서 언급한 장갑 두 켤레 외에 8 쌍의 장갑 중 하나를 선택할 수 있는 방법이 있다.
(4) 선택은 순서와 무관하기 때문에 (2) 와 (3) 의 선택 방법을 한 번 반복하므로 ***240 가지가 있습니다.
예 5. 키가 다른 6 명이 2 열 3 열로 줄을 섰고, 첫 번째 줄의 모든 사람이 같은 열 뒤의 사람보다 작기 때문에, 모든 다른 배열의 수는 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.
분석: 열당 두 명만 고르면 한 가지 방법이 있기 때문에 열당 줄을 서는 방법은 이 사람의 선택 방법에만 관련이 있다. * * * 세 개의 열이 있으므로 =90 종류입니다.
예 6. 1 1 노동자 중 5 명은 자물쇠 장인일 수 있고, 4 명은 자동차 노동자일 수 있고, 나머지 2 명은 자물쇠 장인과 자동차 노동자가 될 수 있다. 현재 1 1 중 4 명을 클램프로, 4 명을 차량공으로 뽑는다. 몇 가지 다른 선택 방법이 있습니까?
해석: 덧셈 원리를 채택하려면 우선 무게를 측정하지 않고 누출되지 않도록 해야 한다. 어떻게 그렇게 할 수 있을까요? 분류 기준은 반드시 일치해야 한다.
두 명의 전능공을 분류 대상으로 하여, 그 중 몇 가지가 자물쇠 장인을 분류 기준으로 삼는 것을 고려하다.
첫 번째 범주: 이 두 사람은 자물쇠 장인이 되어야 하고, 알이 있어야 한다.
두 번째 범주: 이 두 사람 중 한 명은 클램프를 해야 하고 씨앗이 있다.
세 번째 범주: 둘 다 강요하지는 않지만 공이 있습니다.
그래서 185 종 * * 이 있습니다.
예 7. 0, L, 3, 5, 7, 9 가 찍힌 6 장의 카드가 있습니다. 9 를 6 으로 허용하면 무작위로 세 장의 카드를 뽑아서 몇 개의 다른 세 자리를 형성할 수 있습니까?
해결: 일부 학생들은 0, L, 3, 5, 7, 9 의 배열수에 2 를 곱하는 것이 요구라고 생각하지만, 실제로 3 개 중 9 개가 있다면 6 으로 대체할 수 있으므로 반드시 분류해야 한다.
추출 된 세 숫자는 0 과 9 를 포함하며 도로가 있습니다.
추출 된 세 개의 숫자에는 0 이 포함되어 있으며 9 가 포함되어 있지 않습니다. 방법이 있습니다.
추출 된 3 개의 숫자에는 9 가 포함되어 있으며 0 이 포함되어 있지 않습니다. 방법이 있습니다.
추출된 세 개의 숫자에는 9 도 0 도 포함되지 않습니다. 한 가지 방법이 있다.
그리고 숫자 9 는 6 으로 쓸 수 있기 때문에 * * 는 두 가지 × (+)+= 144 방법이 있습니다.
예 8. 주차장에 12 의 좌석이 있습니다. 오늘 8 대의 차를 세워야 하는데, 빈 공간은 서로 연결해야 한다. 다른 주차 방법은 _ _ _ _ _ _ _ _ 입니다.
해석: 빈 주차 공간을 하나의 원소로 보고, 8 대의 차 9 개 원소로 배열하기 때문에 * * * 주차 방법이 있습니다.
특수 요소에 우선 순위를 부여해야합니다. 특수 위치, 우선 순위
예 9. 여섯 명이 일렬로 서서 구걸하다.
(1)A 가 머리 b 에 없는 배열 수.
(2)A 는 머리에 없고, B 는 끝에 있지 않고, A 와 B 는 인접하지 않은 줄 수입니다.
분석: (1) 먼저 머리와 꼬리를 고려하지만, 이 두 가지 요구 사항은 서로 영향을 미치기 때문에 분류를 고려합니다.
첫 번째 범주: b 는 바람과 파도의 끝에 있으며 설 길이 있습니다.
두 번째 범주: B 는 앞줄에 없고, 물론 뒷줄에도 있을 수 없기 때문에 서 있는 방법이 있습니다.
* * * * * 역법.
(2) 첫 번째 카테고리: a 는 끝에 있고 b 는 머리에 있습니다. 한 가지 방법이 있다.
두 번째 범주: a 는 줄 끝에 있고 b 는 머리 위에 있지 않습니다. 한 가지 방법이 있다.
세 번째 범주: b 는 개척자이고 a 는 개척자가 아닙니다. 한 가지 방법이 있다.
카테고리 4: a 는 꼬리가 없고, b 는 머리가 없다. 한 가지 방법이 있다.
***+2+=3 12 종.
예제 10. 한 제품의 6 개의 다른 정품과 4 개의 다른 불량품을 하나씩 테스트하여 모든 불량품이 확인될 때까지 테스트합니다. 만약 다섯 번째 테스트에서 모든 불량품을 발견한다면, 이런 테스트 방법은 얼마나 가능합니까?
해결: 이 문제는 다섯 번째 테스트된 제품이 결함도 있고 마지막인 것이 분명하기 때문에 다섯 번째 테스트는 특별한 위치로 단계적으로 완성해야 한다는 뜻입니다. (데이비드 아셀, Northern Exposure (미국 TV 드라마), 도전명언)
첫 번째 단계: 다섯 번째 테스트의 가능성이 있습니다.
2 단계: 처음 네 번은 정품이 있습니다.
세 번째 단계: 처음 네 번은 가능합니다.
* * * 가능합니다.
4. 바인딩 및 삽입
예제 1 1. 8 명이 일렬로 늘어서다.
(1) A 와 b 는 반드시 인접해야 합니다 (2) A 와 b 는 인접하지 않습니다.
(3) 갑, 을은 인접해야 하고, c 는 인접해서는 안 되며 (4) 갑, 을은 인접해야 하고, c 는 인접해야 한다.
(5) 갑은 을측과 인접하지 않고 을측은 정방과 인접하지 않다.
분석: (1) 방법이 있습니다.
(2) 방법이 있다.
(3) 방법이 있다.
(4) 방법이 있다.
(5) 이 문제는 보간하거나 연속 보간할 수 없다.
간접해법: 전부 배열-갑과 인접-을측에 인접-정측에 인접+갑과 정측에 인접, * * *-+= 23040 가지 방법.
예제 12. 누군가가 8 발을 쏘고 4 발을 쏘았는데, 마침 연속 3 발을 쏘았다. 몇 가지 다른 상황이 있습니까?
분석: ∵ 연속 3 발 명중은 단발 명중과 인접해서는 안 되므로, 이것은 공간을 삽입하는 문제이다. 또한, 싸우지 않아도 별 차이가 없으니, 셀 필요가 없다. 즉, 4 개의 빈 총 사이에 형성된 5 ~ 2 개의 공기 배열, 즉.
예제 13. 가로등 10 개, 번호 1, 2,3, ..., 10 이 도로에 있습니다. 전기를 절약하기 위해 도로를 똑똑히 보면 세 개를 끌 수 있지만 인접한 두세 개의 등은 동시에 끌 수 없습니다. 요구 사항을 충족하는 조명을 끄는 방법은 몇 가지가 있습니까?
해석: 즉, 꺼진 램프는 인접하거나 양끝에 있을 수 없습니다. 램프 사이에는 차이가 없기 때문에 문제는 양끝을 포함하지 않는 7 개의 램프로 형성된 6 개의 공간에서 3 개의 빈 램프를 선택하여 꺼지는 것이다.
* * * = 20 가지 방법.
4. 간접 계수법. (1) 제외 방법
예제 14. 3 행 3 열 9 점. 이 점들을 정점으로 몇 개의 삼각형을 구성할 수 있습니까?
해결: 일부 문제는 직접 해결하기 어렵고 간접적인 방법으로 해결할 수 있습니다.
문제 해결 방법 수 = 임의의 3 점 조합 수-선 위의 3 점 방법 수 * * *,
* * * 종.
예제 15. 입방체의 8 개 정점 중 4 개를 꺼내면 몇 개의 사면체를 형성할 수 있습니까?
해결: 문제 해결 방법 수 = 임의의 네 점의 조합 수-* * * 평면 내 네 점의 방법 수,
* * *- 12 = 70- 12 = 58.
예 16. L, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10,/kloc-; 10, 10, 10, 10, 10,/kloc 10, 10, 10, 10, 10,/kloc 10, 10, 10, 10, 10,/kloc
분석: 기수가 1 일 수 없기 때문입니다.
(1) 1 이 선택된 경우 1 은 실수여야 합니다.
(2) 1 이 선택되지 않은 경우 기수로 2-9 중 2 개를 실수 및 * * * 로 선택합니다. 여기서 log24=log39, log32 = log94, log23 = log 입니다
그래서 * * * 하나에 53 개가 있습니다.
(3) 허구의 한 단계, 그것을 익숙한 문제로 바꾸다.
예제 17. 여섯 명이 줄을 서서 A 가 B 앞에 있을 것을 요구하다. 몇 가지 다른 방법이 있나요? 갑, 을, 병방이 왼쪽에서 오른쪽으로 배열되도록 요구한다면?
분석: (1) 실제로 A 는 B 앞에 있고, A 는 B 뒤에 있고, 대칭이며, 같은 수의 배열을 가지고 있습니다. 그래서 360 종이 있습니다.
(2) 우선 6 명의 전체 배치를 고려한다. 둘째, A, B, C 는 한 가지 순서만 서 있을 수 있기 때문에 앞의 순위가 반복됩니다. * * =120.
예 18.5 남녀 배구팀이 일렬로 늘어서 남학생에게 높음부터 낮음까지 순서대로 하라고 요구했다. 몇 가지 다른 방법이 있습니까?
분석: 우선, 남자의 자세 요구 사항에 관계없이 * * * 종류가 있습니다. 남자는 높음에서 낮음까지 왼쪽에서 오른쪽으로 단 한 가지 자세방법밖에 없기 때문에 위의 자세방법은 여러 번 반복된다. 그래서 9 × 8 × 7 × 6 = 3024 종류가 있습니다.
남자가 높음에서 낮음까지 오른쪽에서 왼쪽으로 가면 한 가지 자세법만 있고 같은 방법도 3024 가지여서 6048 종이 있다. (데이비드 아셀, Northern Exposure (미국 TV 드라마), 남녀명언)
예제 19. 세 개의 같은 빨간 공과 두 개의 다른 흰 공이 일렬로 늘어서 있다. 몇 가지 다른 * * * 방법이 있습니까?
분석: 첫째, 세 개의 빨간 공이 서로 다르다고 생각하는데 * * * 방법이 있습니다. 세 개의 빨간 공이 같은 위치를 차지하기 때문에 * * * 변화 때문에 ***=20 종.
5. 베젤 사용
예 20. 10 정원은 8 개 반에 배정되며, 각 반마다 최소한 1 개 정원이 있습니다. 몇 가지 다른 분배 방법이 있습니까?
해결: 10 위치를 10 개 요소로 간주하고, 이 10 개 요소 사이에 형성된 9 개 공간 중 7 개 위치를 선택하여 베젤을 배치하므로 각 배치 방법은 한 가지 배포 방법에 해당합니다. 그래서 * * * 36 종.
6. 배열 조합의 차이와 연결에 주의해라. 모든 배열은 먼저 조합을 취하고 나서 전체적인 배열을 하는 것으로 볼 수 있다. 마찬가지로 단계 (정렬) 를 추가하는 것과 같은 조합은 정렬 문제로 변환할 수 있습니다.
예 2 1. 0, l, 2 에서 짝수 두 개와 홀수 세 개를 꺼냅니다
분석: 먼저 뒷줄을 선택하세요. 또한 특수 요소 0 의 선택을 고려해야 합니다.
(1) 선택한 두 짝수에 0 이 포함되어 있으면 시드가 있습니다.
(2) 선택한 짝수가 0 을 포함하지 않으면 씨앗이 있습니다.
예 22. 엘리베이터는 승객 7 명이 10 층 건물의 각 층에 주차되어 있습니다. 만약 세 명의 승객이 같은 층에서 나가고, 다른 두 명은 같은 층에서 나가고, 마지막 두 명은 다른 층에서 나가면, 몇 가지 다른 방법이 내려가나요?
분석: (1) 먼저 7 명의 승객을 네 그룹으로 나눕니다: 승객 3 명, 승객 2 명, 승객 1 명, 한 명.
(2) 10 레이어에서 4 층을 선택하여 아래층으로 내려갑니다.
* * * 당신은 종류가 있습니다.
예 23. 숫자 0, 1, 2,3,4 및 5 를 사용하여 중복 숫자가 없는 4 자리 숫자를 구성합니다.
(1) 몇 개의 서로 다른 4 자리 숫자를 구성할 수 있습니까?
(2) 얼마나 많은 다른 4 자리 짝수를 형성 할 수 있습니까?
(3) 4 자리 숫자를 3 으로 나눌 수 있습니까?
(4) (1) 의 4 자리 숫자를 작은 것부터 큰 것까지 배열하고 85 항목이 무엇인지 물어본다.
분석: (1) 하나 있습니다.
(2) 두 가지 범주로 나뉩니다: 바닥 0, 씨앗이 있습니다; 0 바닥에 있지 않고 씨앗이 있습니다.
* * * * * 종.
(3) 우선 작은 것부터 큰 것까지 덧셈을 3 으로 나눌 수 있는 네 수, 즉 선선선이다.
0, 1,2,3
0, 1,3,5
0,2,3,4
0,3,4,5
1,2,4,5
그것들의 배열 수는 반드시 3 으로 나눌 수 있어야 하고, 다시 배열할 수 있어야 한다. 4×()+=96 종이다.
(4) 우선 1 이 있는데 =60 입니다.
처음 두 자리 숫자는 20 = 12 입니다.
처음 두 자리는 2 1 = 12 입니다.
따라서 항목 85 는 처음 두 자리 23 의 최소 수, 즉 230 1 입니다.
7. 그룹 문제
실시 예 24. 6 권의 다른 책
(1) 갑, 을, C 세 명, 1 인당 2 인분씩 주세요. 몇 가지 다른 방법이 있나요?
(2) 세 무더기로 나누어 각각 두 권의 책을 쌓는데, 몇 가지 다른 방법이 있습니까?
(3) 세 무더기, 한 무더기, 두 무더기, 세 무더기로 나뉜다. 몇 가지 다른 방법이 있는가?
(4) A, b, c, 몇 가지 다른 방법이 있습니까?
(5) 갑측, 을측, 병측에 1 인분, 1 인분, 2 인분, 3 인분 주세요. 몇 가지 다른 방법이 있나요?
분석: (1) 적당합니다.
(2) 즉 (1) 을 기준으로 순서를 제거하고 씨앗이 있습니다.
(3) 씨앗이 있다. 이것은 균일하지 않은 그룹이기 때문에 순서가 포함되지 않습니다.
(4) 한 가지가 있습니다. 같은 (3) 이유는 A, B, C 의 보유량이 결정되기 때문이다.
(5) 씨앗이 있다.
예 25. 여섯 명은 서로 다른 차 두 대를 나누어 타고, 각 차는 최대 네 명까지 탈 수 있기 때문에, 다른 승차 방식은 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 이다.
분석: (1) 6 명을 2 명, 4 명, 3 명, 3 명을 각각 두 그룹으로 나누는 것을 고려해 보세요.
첫 번째 범주: 평균 3 명으로 나뉘어져 있습니다. 한 가지 방법이 있다.
두 번째 범주: 그룹당 2 명 4 명으로 나뉜다. 한 가지 방법이 있다.
(2) 두 대의 다른 차를 고려해 보세요.
종합 ① ②, 씨앗이 있다.
실시 예 26. 다섯 명의 학생이 네 개의 서로 다른 과학 기술 그룹에 배정되어 행사에 참가하는데, 각 과학 기술 그룹마다 적어도 한 명의 학생이 참가하기 때문에 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
분석: (1) 먼저 다섯 명의 학생을 두 그룹으로 나눕니다. 한 명씩, 한 그룹당 한 명씩.
평균적으로 네 그룹으로 나뉘는데, 그룹 방식은 = 종이다.
(2) 4 개의 다른 기술 그룹에 할당하는 것을 고려하십시오. 한 가지가 있습니다.
(1) 과 (2) 에 따라 ***=240 종.